目录一第一次数学危机——无理数二第二次数学危机——无穷小量1芝诺悖论2贝克莱悖论3无穷级数悖论三第三次数学危机——集合的二难悖论1说谎者悖论2理发师悖论3罗素悖论四其他二难悖论1祖父悖论2培里悖论3格瑞林-纳尔逊悖论4全能上帝悖论5鳄鱼悖论6不死之酒7半费之讼五来自日常生活的悖论1投票悖论孔多塞悖论2特修斯之船悖论3抽彩悖论4公交车悖论等待时间悖论5检查悖论六决策悖论1双信封悖论1双信封悖论PLUS版2双信封悖论3双信封悖论简化版4双信封悖论泛化版2钱包悖论3纽卡悖论4老虎悖论5群体决策悖论6三门悖论七关于归纳的悖论1乌鸦悖论八心理学的悖论1阿莱悖论九物理学的悖论1EPR佯谬2双生子佯谬十其他悖论1费米悖论2色盲悖论一第一次数学危机——无理数以前人们公认所有的数都可以表示成2个整数的比值。然后有了毕达哥拉斯定理取最简单的情形2个直角边为1那么斜边的长度的平方是2所以斜边到底是多少呢假设斜边长为m/nm、n都是正整数m/n是最简分数。那么m/n*m/n2即m*mn*n*2那么m是偶数假设m2*ss是正整数那么2*s*2*sn*n*2即n*ns*s*2那么n是偶数假设n2*t那么s*st*t*2也就是说m/n和s/t是相等的。这就与m/n是最简分数矛盾了。由此说明斜边的长度不能表示成2个整数的比值。由此历史上第一个无理数就诞生了。实际上证明根号2是无理数有好几个很简单的方法包括平面几何方法。二第二次数学危机——无穷小量1芝诺悖论“两分法”向着一个目的地运动的物体首先必须经过路程的中点然而要经过这点又必须先经过路程的1/4点……如此类推以至无穷。——结论是无穷是不可穷尽的过程运动是不可能的。“阿基里斯追不上乌龟”阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点因而乌龟必定总是跑在前头。这个论点同两分法悖论一样所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。“飞矢不动”意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上因而是静止的所以箭就不能处于运动状态。“操场或游行队伍”A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静止的c来看比如说A、B都在1小时内移动了2公里可是从A看来则B在1小时内就移动了4公里。运动是矛盾的所以运动是不可能的。2贝克莱悖论贝克莱悖论就是无穷小量到底是不是0这个求导过程中Δx先是不为0后是为0导致矛盾。但是这个例子让人觉得只是求导的方法不对数学的其他理论都是没问题的似乎称不上悖论3无穷级数悖论计算无穷级数Σ(1/n)*(-1)^(n1) 1 – 1/2 1/3 – 1/4 1/5 – 1/6 …一方面两两组合结果显然大于1/2另一方面从而导致矛盾。微积分中类似的利用不同计算方法得到不同结果的例子还有很多引发了第二次数学危机。后来柯西等人建立了极限理论新的微积分建立在了极限的基础之上也叫第二代微积分。这才解决了这个危机。目前最新的是第三代微积分试图不采用极限避免极限带来的晦涩不过还只是在发展中。三第三次数学危机——集合的二难悖论1说谎者悖论我说的这句话是假话。这是最经典的二难悖论从这个表述尝试推导这句话是真话还是假话无论怎样都会导致矛盾。二难悖论出现的原因就是存在自我指涉根据自我指涉的方式的不同有很多种二难悖论。2理发师悖论在某个城市中有一位理发师他的广告词是这样写的“本人的理发技艺十分高超誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎”来找他刮脸的人络绎不绝自然都是那些不给自己刮脸的人。可是有一天这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了他本能地抓起了剃刀你们看他能不能给他自己刮脸呢如果他不给自己刮脸他就属于“不给自己刮脸的人”他就要给自己刮脸而如果他给自己刮脸呢他又属于“给自己刮脸的人”他就不该给自己刮脸。3罗素悖论由所有不包含自身的集合所组成的集合这个集合是否包含自身呢罗素悖论和理发师悖论是等价的。罗素发现这个悖论是由集合包含自身所导致的如果去掉这种自我指涉就没有悖论了。公理化集合论的建立成功排除了集合论中出现的悖论解决了第三次数学危机。四其他二难悖论1祖父悖论假设你回到过去在自己父亲出生前把自己的祖父母杀死因为你祖父母死了就不会有你的父亲没有了你的父亲你就不会出生你没出生你就不会将祖父母杀死从而形成悖论。下面这个台球虫洞悖论本质和祖父悖论一样都是因果悖论但是做了极大的简化。2培里悖论培里是英国的图书馆管理员。有一天他告诉罗素下面的悖论英语中只有有限多个音节只有有限多英语表达式包含少于40个音节所以用少于40个音节的表达式表示的正数数目只有有限多个。假设R为“不能由少于40个音的英语表达式来表示的最小正整数”(The least positive integer which is not denotedby an expression in the English language containing fewer than forty syllables)。但是这段英语只包含三十几个音节肯定比40个少而且表示R这自然产生了矛盾。我的浅见假设R为“不能由少于40个音的英语表达式来表示的最小正整数”这一步是错的因为用文字来描述一个数只是一种简单的映射并没有规矩只要我开心我照样可以用“不能由少于40个音的英语表达式来表示的最小正整数”这个词首先直接用来表示1虽然这样的描述让人很难理解但是逻辑上并没有错误。那么在遇到了一个足够大的数之后我们再想用“不能由少于40个音的英语表达式来表示的最小正整数”这个短语来表示就不行了因为已经被用过了。即使我们按照正常逻辑1就是one2就是two也一定会遇到一个除了“不能由少于40个音的英语表达式来表示的最小正整数”这个词之外再也没有其他少于40个音节的词可以表示的数如果此时我们用这个词来表示它后面就一定还会遇到一个无法用任何少于40音节的词表示的数因为这个词已经用过了。3格瑞林-纳尔逊悖论如果一个形容词所表示的性质适用于这个形容词本身比如“黑的”两字的确是黑的那么这个形容词称为自适用的。反之一个形容词如果不具有自适用的性质就叫做非自适用的。在英语中“Polysyllabic”(多音节的)“English”(英语的)这些词都是自适用的形容词而 “monosyllabic”(单音节的)、“French”(法语的)这些词就是非自适用的。我们来考虑“非自适用的”这个形容词它是自适用的还是非自适用的呢如果“非自适用的”是非自适用的那么它就是自适用的如果“非自适用的”是自适用的那么按照这词的意思则它是非自适用的这就导出矛盾。格瑞林-纳尔逊悖论的本质其实就是说谎者悖论。4全能上帝悖论1上帝能创造出一块他搬不动的石头吗如果我们说上帝是万能的就会存在悖论上帝能创造出一块他搬不动的石头吗如果我们说上帝不存在或者上帝不是万能的那就没有悖论了这个悖论有点像说谎者悖论但是深究起来不太一样。首先上帝是万能的所以无论哪个石头上帝都可以搬得动也就是说上帝搬不动的石头是不存在的。然后上述悖论就会变成上帝能创造出一个不存在的物体吗一般来说上帝能创造出目前不存在的物体比如假设目前不存在电荷数为3.1415926的电子但是明天说不定就存在了呢反正你都相信上帝存在且万能了。对于永远不存在的物体上帝是创造不出来的。这感觉又扯到因果律了但是我仍然可以说上帝是万能的因为万能指的是所有事情都能搞定而不是所有形如“上帝能...”的命题都成立。2上帝能证明上帝不是万能的吗如果我们说上帝是万能的就会存在悖论上帝能证明上帝不是万能的吗这就更接近说谎者悖论了。首先我还是相信上帝是万能的所以“上帝不是万能的”就是个假命题。然后上述悖论就会变成上帝能证明一个假命题是真命题吗不能但是我还是认为上帝是万能的。和上一种情况类似如果我说所有的证明其实都是在键盘上敲出一个满足条件的字符串那么对于任何条件上帝要么告诉你不存在满足条件的字符串要么可以敲出一个满足条件的字符串但是上帝敲不出一个不存在的字符串。结论是上帝敲不出一个不存在的字符串但是上帝仍然是万能的。PS考虑到哥德尔不完备性定理把证明描述成敲出一个字符串并不恰当但是这不是重点如果要严谨一点只需要对上述论述稍作修改即可。5鳄鱼悖论古希腊流传的故事有一天一条鳄鱼从一位母亲的手中抢走了她的孩子。 这位母亲苦苦地哀求鳄鱼“我只有这么一个孩子求求你千万不要伤害他你提出什么条件我都答应你。” 鳄鱼听了非常得意就对这位母亲说“那好我向你提一个问题让你猜如果你答对了我就不伤害你的孩子并把孩子还给你如果你答错了我就要吃掉你的孩子。”鳄鱼问这位母亲你猜我会不会吃掉你的孩子这位聪明的母亲仔细地琢磨了片刻说“鳄鱼先生我想你是要吃掉我的孩子的。”那鳄鱼到底要不要吃掉孩子呢这就形成了悖论。6不死之酒东方朔偷饮了汉武帝求得的据说饮了能够不死的酒汉武帝要杀他他说“如果这酒真能使人不死那么你就杀不死我如果这酒不能使人不死你能杀得死我那么它就没有什么用处不必杀我。”7半费之讼普罗泰戈拉收了一名学生叫欧提勒士。普氏与他签订了这样一份合同前者向后者传授辩论技巧教他帮人打官司后者入学时交一半学费另一半学费则在他毕业后帮人打官司赢了之后再交。时光荏苒欧氏从普氏那里毕业了。但他总不帮人打官司普氏于是就总得不到那另一半学费。普氏为了要那另一半学费他去与欧氏打官司。普氏认为无论官司输赢他都应该拿到另一半学费普氏却认为无论官司输赢他都不应该支付另一半学费。五来自日常生活的悖论1投票悖论孔多塞悖论假设甲乙丙三人面对ABC三个备选方案有如下的偏好排序甲ABC乙BCA丙CAB那么就会产生一个结果大部分人都认为AB大部分人都认为BC大部分人都认为CA从而形成悖论。类似的Matrix67的博客中给出了稍复杂的一个例子有四颗骰子分别用A、B、C、D来表示比较2个骰子的优劣可以描述成2个骰子pk时哪个胜率更高在这四颗骰子中A赢B的概率是2/3B赢C的概率是2/3C赢D的概率是2/3D赢A的概率还是2/32特修斯之船悖论如果特修斯的船上的木头被逐渐替换直到所有的木头都不是原来的木头那这艘船还是原来的那艘船吗我们认定同一性——认定一个事物是不是它本身的依据不是组成这一事物的元素而是这一事物的内部结构——元素之间的关系以及这一事物的时空连续性。3抽彩悖论我合理地相信在一百万张彩票中有一张将中彩。但我并不合理地相信1号票将中彩也没有理由相信2号票将中彩。这一过程可以继续下去以至最终也没有理由相信任何单独一张票将中彩。于是悖论出现了因为我确实相信有一张票将中彩。如果换成连续性概率问题可能更有悖论的感觉。学过概率论的都知道不可能事件的概率为0但概率为0的不一定是不可能事件。最简单的比如在线段上随机选一个点任何一个点都有可能被选中但被选中的概率都是04公交车悖论等待时间悖论公交车悖论当你等平均10分钟一班的公交时理论上你所需等待的平均时间是5分钟但你总感觉等的时间总比5分钟要长。抛开“人总是记住悲剧而不是喜剧”这类的心理因素我们看一下客观情况。几个经典的模型1公交车严格按照10分钟一趟发车这是理论情况在这种情况下平均等待时间是5分钟2每趟车的时间都是完全随机的感性上平均等待时间一定大于5分钟因为间隔越长之后来的车覆盖的人越多所以加权平均下一定高于5分钟。我们用c模拟一下循环场景假设1天有10000个时间单位有10个车每个车选择一个随机时间并且每天都是这个时间。假设这10000个时间单位依次产生1个新的等待者那么所有人的平均等待时间就是int getMinTime() { vectorintv; for (int i 0; i 10; i) { v.push_back(rand() % 10000); } sort(v.begin(), v.end()); int s 0, a 0; for (int i 0; i 10; i) { int x (v[(i 1) % 10] 10000 - v[i]) % 10000; s x * x; } return s / 10000 / 2; }模拟10000次取平均值int main() { int s 0; for (int i 0; i 10000; i) { s getMinTime(); } cout s / 10000; return 0; }结果是923这个结果已经很接近1000了。实际上这种循环场景可以用公式推导出来人均等待时间不是公交车间隔的一半而是刚好等于公交车平均间隔时间。3瘦弱又文明的你瘦弱又文明的你可能挤不上第一辆车那么你的平均等待时间比公交车平均间隔时间还长5检查悖论公交车悖论当你等平均10分钟一班的公交时理论上你所需等待的平均时间是5分钟但你总感觉等的时间总比5分钟要长。如果在公交车悖论中外面不关心具体的平均值只关心为什么平均值大于5分钟那原理就是检查悖论。1班级人数抽样如果在学校抽100个人统计每个人的班上有多少人最后总数为s那么这个学校平均每个班上有s/100人吗实际上是小于s/100的因为班上人更多的班级有更多的人被抽样了。2友谊悖论朋友的平均朋友数是高于自己的。前任的平均前任数是高于自己的。3广义友谊悖论朋友的平均资产是高于自己的。假如全国人的平均资产是x元则所有人的所有朋友的资产总和之和除以所有人的所有朋友总数之和是大于x的。朋友的平均颜值是高于自己的这就是为什么每个女生都有漂亮闺蜜4堵车抽样随机问100个司机堵不堵有80个说堵但其实只有一小半的道路是堵的只是这一小半的道路让大部分司机都堵在了对应的路上。六决策悖论1双信封悖论1双信封悖论PLUS版在又一个比较诡异的悖论 | Matrix67: The Aha Moments一文中有这么一个问题箱子里有两个信封“一个信封里有1元钱另一个有10元”有1/2的概率“一个信封里有10元钱另一个有100元”有1/4的概率“一个信封里有100元钱另一个有1000元”有1/8的概率……也就是说有1/2^n的概率发生这样的事情一个信封里有10^(n-1)元钱另一个信封里有10^n元钱。现在你拿到一个信封看到了里面有x元钱。给你一次机会换成另外那个信封问你换不换。很明显另外一个信封的收益远高于x如果按照条件概率来算另外一个信封的期望是3.4x那么为什么我们不一开始就选择另外那个信封呢2双信封悖论在评论中我找到了这个问题的简化版即双信封悖论给你两个装钱的信封其中一只信封中的钱是另一只的两倍选择一个信封打开此时你可以选择拿走手上信封里的钱或者拿走另一个信封问你换不换。很明显2个问题的本质是一样的而且双信封悖论不需要考虑条件概率一个是x另外一个就有50%的概率是2x有50%的概率是x/2结论仍然是换一个信封期望更高。3双信封悖论简化版我又看到一些评论提到在打开第一个信封之前期望是无穷大。于是我想出一个更简单的版本给你两个装钱的信封两个里面的钱都是大于0的随机数所有大于0的数被选中的概率都是相等的选择一个信封打开此时你可以选择拿走手上信封里的钱或者拿走另一个信封问你换不换。无论选哪一个另外一个的期望都是无穷大所以肯定要换。这个版本其实和前2个的本质也是一样的但是似乎并不反常识了。4双信封悖论泛化版上面的例子似乎更让人确信总期望是无穷大是个关键。那么我们把Matrix67的问题做个简单的泛化箱子里有两个信封“一个信封里有1元钱另一个有k(k是大于1的实数)元”有1/2的概率“一个信封里有k元钱另一个有k^2元”有1/4的概率“一个信封里有k^2元钱另一个有k^3元”有1/8的概率……也就是说有1/2^n的概率发生这样的事情一个信封里有k^(n-1)元钱另一个信封里有k^n元钱。现在你拿到一个信封看到了里面有x元钱。给你一次机会换成另外那个信封问你换不换。此时另外一个信封的期望是x/3 * (k2/k)所以换的条件是k2/k 3即k2而在打开第一封之前总期望是(1k)/2 (kk^2)/4 ......它等于无穷大的条件也是k22钱包悖论A和B两人进行一场赌博。赌法是由第三者计算A、B二君钱包里面的钱钱少者可以赢走钱多者的钱。A对于这场赌博的想法为若B君的钱比我少我可能输掉我现有的钱。但若B君的钱比我多我赢了就会得到多于我现有的钱。我能够赢的钱比输的钱多所以这场赌博对我有利。而B的想法也是如此。但实际上这是一个零和博弈从而形成悖论。钱包悖论和双信封悖论类似。如果2个钱包里面的金额都是大于0的随机数所有大于0的数被选中的概率都是相等的那么就和上面的“双信封悖论简化版”非常像了。3纽卡悖论一天一个由外层空间来的超级生物欧米加在地球着陆。欧米加搞出一个设备来研究人的大脑。他可以十分准确地预言每一个人在二者择一时会选择哪一个。欧米加用两个大箱子检验了很多人。箱子A是透明的总是装着1千美元。箱子B不透明它要么装着1百万美元要么空着。欧米加告诉每一个受试者你有两种选择一种是你拿走两个箱子可以获得其中的东西。可是当我预计你这样做时我就让箱子B空着。你就只能得到1千美元。另一种选择是只拿一个箱子B如果我预计你这样做时我就放进箱子B中1百万美元。你能得到1百万美元。一个男人决定只拿箱子B。他的理由是——我已看见欧米加尝试了几百次每次他都预计对了。凡是拿两个箱子的人只能得到1千美元。凡是只拿箱子B的都变成一个百万富翁。一个女孩决定要拿两个箱子她的理由是——欧米加已经做完了他的预言并已离开。箱子不会再变了。如果是空的它还是空的。如果它是有钱的它还是有钱。所以我要拿两个箱子就可以得到里面所有的钱。你认为谁的决定最好4老虎悖论国王要处决一个囚犯但给他一个生还的机会。囚犯被带到5扇紧闭的门前他知道其中一扇后面关着一只老虎。国王对囚犯说“你必须依次打开这些门。我可以肯定的是在你没有打开关着老虎的那扇门之前你无法知道老虎是在那扇门后。”开门之前囚犯进行了如下分析假如老虎在第五扇门那当他把前四扇门打开后都没发现老虎那他肯定猜到老虎在第五扇门中因国王说过不论何时他也料不到老虎在哪扇门后那国王的说话就错了。因此老虎肯定不在第五扇门中。同样道理老虎也不在第四道门中否则囚犯打开三道门后只剩两道门老虎既不在第五扇门后那就会给他料到在第四扇门后依次类推老虎不存在任何一道门后从而形成悖论。我的理解首先5个门后面有且仅有一个后面有老虎这个是毫无疑问的我觉得这个不属于质疑的对象。其次国王的结论是错的因为如果前四扇门都没有老虎那么囚犯就知道了老虎在最后一扇门后面。所以既然国王的结论是错的那么当前三扇门都没有老虎的时候囚犯并不能推导出老虎在第四扇还是第五扇门后面。结论就是国王的结论是错的所以囚犯没有得到足够的信息如果老虎在第五扇门囚犯就会提前知道否则囚犯就无法提前知道。5群体决策悖论假设全市所有人一起玩一个游戏每个人选中0-100的一个数字所有人同时做出选择然后统计所有数的平均数。最后谁选中的数字最接近平均数的2/3则获得超级大奖那么应该怎么选择思路一首先假设所有人都是随机选那么平均数是50。再假设每个人都足够理性那么应该选择50*2/333平均数变成33既然平均数是33那么应该选择33*2/322以此类推22*2/31,5,15*2/310,10*2/37,7*2/35,5*2/333*2/32,2*2/31最后1*2/31至此终于稳定下来所以最佳选择是1并不是一些人认为的0PS这里有2条假设先假设所有人都是随机选后又假设每个人都足够理性显然整个逻辑是不自洽的。思路二假设每个人都足够理性首先平均数不超过100所以每个人选择的数字应该都不超过67。注意每个人都足够理性每个人都使用相同的策略不代表每个人选择的数字都一样因为可能是混合策略而不是纯策略。继续推理平均数不超过67那么每个人选择的数字应该都不超过67*2/345,以此类推45*2/330,30*2/32020*2/313,13*2/39,9*2/36,6*2/34,4*2/333*2/32,2*2/31所以每个人选择的数字应该都不超过1最后我们只能说最佳选择是0或者1具体该选择0还是该选择1或者是某种混合策略已知条件是不足以推导出来的。实际情况据网友实测找了2000人测试平均数是43所以选择29的赢了。当然奖品肯定不是万众瞩目的超级大奖这种level的所以这2000人里面肯定有一些闭着眼睛乱选的。为什么实际情况会和理论推导差别这么大呢因为现实世界中足够理性的人是极少数的。6三门悖论在美国的一个电视节目中参与者面前有三扇门其中一扇门后面有奖品另外两扇门后面的空的。首先参与者选择其中一扇门然后主持人会在剩下的2扇门有1扇或者2扇是空门中选择一扇门打开表示这是空门。此时还剩下2扇门参与者有一次重新选择的机会这个问题的关键在于剩下的2扇门有奖品的概率是1/32/3还是1/21/2呢这个问题曾经引起全社会广泛的讨论2种说法都有一定的道理但实际上肯定有一种是错的。1正确答案一开始有1/3的概率选中有奖品的门这种情况下应该不换门。一开始有2/3的概率选中没有奖品的门之一这种情况下应该换门。综合来看剩下的2扇门有奖品的概率分别是1/3和2/32基于信息的概率模型很多人对1/32/3很确信对1/21/2嗤之以鼻当然也有人坚定的认为就是1/21/2。能理解到这两种思路貌似都有一定的合理性的人确实只占极少数。引申一步其实大部分人是没有真正懂“悖论”这个概念的他们只觉得***悖论很荒谬。悖论就好像是一个解题过程由已知条件A首先推导出B然后B推导出C然后C推导出D然后D推导出E。但是我们知道E一定是错的关键是这4步推理看起来都有道理。往往我们需要很严格很细致的论证才能发现原来第3步是错的。但是很多人一看到这个悖论就嗤之以鼻说A推导出B不对其实他压根就没有理解ABCDE这个推导过程。言归正传三门问题我个人理解不是条件概率而是概率模型当然二者很像。什么是概率模型呢举个例子你和张三要猜拳一局定胜负赢的人获得1元你觉得对方出石头剪刀布的概率都是1/3。那么1/3这个值是怎么来的这是一个默认通用模型“在n个球中选一个每一个被选中的概率都是1/n”。但是如果游戏规则是你和张三要猜拳一局定胜负赢的人获得10000元那么你可能会仗着对方不会上网选择上网搜索然后你发现现实生活中概率不是1/31/31/3而是0.360.310.33。这就是2种不同的概率模型本质上是有信息和没有信息的区别有信息就会有对应的概率模型。没信息就只能用默认通用模型所以说在三门悖论中推导出1/21/2的该思路的错误之处在于对于剩下的2扇门认为都有可能中奖而且一开始是对称的地位现在也应该是对称的地位所以都是1/2。但是此时我们其实是有信息的有信息就不能用默认通用模型了。一个是一开始三选一选的门一个是剩下的两个门去掉一个留下的门显然是有信息的那么把这一个信息转化成概率模型就是1/32/3了。3后验概率我上面总结的基于信息的概率模型应该是和概率论中的后验概率是一样的。七关于归纳的悖论1乌鸦悖论我们可以出去观察成千上万只乌鸦然后发现他们都是黑的。在每一次观察之后我们对“所有乌鸦都是黑的”的信任度会逐渐提高。归纳法原理在这里看起来合理的。现在问题出现了。“所有乌鸦都是黑的” 的论断在逻辑上和“所有不是黑的东西不是乌鸦”等价。如果我们观察到一只红苹果它不是黑的也不是乌鸦那么这次观察会不会提高我们对“所有乌鸦都是黑的”的信任度有些哲学家认为其实这个命题是完全正确的出错的是我们自己的逻辑。其实观察到一个红色的苹果确实会增加乌鸦都是黑色的可能性这就相当于如果有人把宇宙中所有不是黑的物体都给你看而你发现所有的物体都不是乌鸦那你就完全可以断定所有乌鸦都是黑色的了。这个“悖论”看上去荒谬只是因为宇宙中 “不是黑色的”物体远远多于“乌鸦”所以发现一个“不是黑色的”物体只增加了极其微小的对于“乌鸦都是黑色的”的信任度而相对而言每发现一只黑色的乌鸦就是一个有力的证据了。我的思路和上面这个哲学家的思路类似不是所有物体都是可数的可分割的而且一个物体也可能不是纯色的很难论断是不是黑色的。八心理学的悖论1阿莱悖论在80%获得4000和100%获得3000之间做选择一般人会选择100%获得3000在80%损失4000和100%损失3000之间做选择一般人会选择80%损失400。九物理学的悖论1EPR佯谬参考量子力学2双生子佯谬参考相对论十其他悖论1费米悖论银河系大约有2500亿颗恒星可观测宇宙内则有700垓7 x 10^22颗。即使智慧生命以很小的概率出现在围绕这些恒星的行星中那么仅仅在银河系内就应该有相当大数量的文明存在。这也符合平庸原理的观点即地球不是特殊的仅仅是一个典型的行星具有和其他星体相同的规律和现象。考虑到智慧生命克服资源稀少性的能力和对外扩张的倾向性任何高等文明都很可能会寻找新的资源和开拓他们所在的恒星系统然后是涉足邻近的星系。因为在宇宙诞生137亿年之后我们没有在地球或可观测宇宙的其他地方找到其他智慧生命存在的切实可靠的证据可以认为智慧生命是很稀少的或者说我们对智慧生命的一般行为的理解是有误的。费米悖论的核心就是外星高等文明到底存不存在。个人理解这个甚至不能称之为悖论因为正反2个角度的推理都太模糊了没办法定量分析。可以解释的原因也是多的很下面是我随便想的几种。1黑暗森林可能高级文明有很多但是大家都藏起来了。甚至已经有高级文明发现地球传出去的信号了但是没有人回应也没人急着打击避免更高级的文明发现了自己等到更高级的文明发现地球就会打击地球了。2高级文明清理可能高级文明在持续的清理文明所以宇宙中的文明分布非常稀疏3难以通讯可能文明已经有很多了但是大家都没办法以光速通讯导致互相之间很难联系上。高级文明也没办法吗这谁说的准呢科技一定是指数爆炸吗科技一定是万能的吗会不会需要解决的问题的复杂度也是指数爆炸的会不会有某种宇宙机制导致某些物理问题是宇宙生物永远无法解决的可能性太多了。2色盲悖论有一个人叫张三他有一种奇怪的色盲症。他看到的蓝绿两种颜色和别人不一样他把蓝色看成绿色把绿色看成蓝色。但是他自己并不知道他和别人不一样因为他和别人的叫法都一样。问题来了怎么让他知道他和别人不一样首先定个调这个悖论比一般人想象的复杂的多很多人给出了答案但是并不正确。要想讨论这个问题必须说清楚架设条件把现实生活中的实际情况进行简化。假设一除了张三之外其他人都是正常的。这是一个递归的概念如果我们能证明张三是异常的而其他人的表现都是一样的就说明其他人都是正常的。假设二红绿蓝三种光人眼的三种锥细胞分别只感受其中一种光。而黄光被两种锥细胞感知所以人眼认为红加绿是黄色。真实情况是每个光都可以刺激三种锥细胞的感知只是刺激程度不同按照对实际情况建模的不同情况分为若干种场景。场景一如果只有7种波长的单色光分别是红橙黄绿青蓝紫光每种单色光都是波长为一个特定数字的纯光。多色光都是这些光组合而成。色盲的蓝细胞感受蓝光不感受绿光绿细胞感受绿光不感受蓝光其他五种单色光对细胞的刺激正常。思路一利用色光的三原色正常人认为红加绿是黄色而色盲认为红加蓝是黄色。PS场景一是对于色盲悖论的一种理解但是这种场景其实不太合理所以我们不认为悖论已解决。场景二如果只有7种波长的单色光分别是红橙黄绿青蓝紫光每种单色光都是波长为一个特定数字的纯光。多色光都是这些光组合而成。色盲的蓝细胞感受蓝光不感受绿光绿细胞感受绿光不感受蓝光黄光刺激蓝细胞和红细胞依次类推即本该刺激蓝细胞的都刺激绿细胞本该刺激绿细胞的都刺激蓝细胞。思路一错误。色盲把绿看出蓝但是他把这个叫做绿他也觉得红加绿是黄色所以这个思路行不通。如果蓝细胞和绿细胞的功能是完全对称的那么只能通过生物手段测量人眼或人脑相关区域的信号才能证明是色盲了。如果功能不对称那就有可能通过物理学的思路来区分了。场景三有无限种或极多种波长的单色光连续或者离散模型其中7个特别波长的光是红橙黄绿青蓝紫光其他可见光都是刺激2-3种锥细胞只有3个特定波长的光是只刺激一种锥细胞。色盲只对于2个特定波长的光的感知互换或者只对于2段波长的光的感知互换。思路二利用感知连续性。具体方法有很多色相环、色度图都行。本质上就是光的波长连续变化时正常人的感知是连续变化的色盲是存在跳变的。场景四有无限种或极多种波长的单色光连续或者离散模型其中7个特别波长的光是红橙黄绿青蓝紫光其他可见光都是刺激2-3种锥细胞只有3个特定波长的光是只刺激一种锥细胞。色盲的蓝细胞和绿细胞功能互换。和场景二类似如果蓝细胞和绿细胞的功能是完全对称的那么只能通过生物手段了。