Gilbert Strang教授的《线性代数》Introduction to Linear Algebra第六版上市有同学对比图灵出版的《斯特朗线性代数第四版》Linear Algebra and Its Applications的不同从内容角度来说两本书差异并不大《线性代数导论》的篇幅更长尤其是在线性方程组、矩阵、欧氏空间等基础主题上花费了更多笔墨《斯特朗线性代数》所包含的知识点略多一些如若尔当标准形、有限元理论等高等主题其中有限元理论是Strang本人的学术专长这在线性代数教材中是绝无仅有的。其他在读者对象、内容覆盖、习题和解答上差异并不大。而读者比较感兴趣的B站上累计有五百多万播放的MIT线性代数视频的配套教材到底是哪一本也有粉丝给出了解答。因此如果你想配套视频课程学习线性代数的话图灵出版的这本《斯特朗线性代数第4版》会更合适一些。来源 | 《斯特朗线性代数》作者[美] 吉尔伯特·斯特朗译者陈学勇刘伟安01美丽的线性代数本教材的前三版受到了广大读者的欢迎很多人通过阅读本教材学习线性代数知识甚至用它来教学正因为如此如何对本教材进行再次修订对我来说就变成了一个特别的挑战但无论怎么修订本书的宗旨不会改变——帮助线性代数教学跟上这门学科不断发展的步伐增加一些新的问题是修订教材的一种有效可行的方法在这些年的教学中我出了数百道新的考试题尤其是随着在线测验的兴起我相信你会赞同增加新问题这一选择这些问题包含了对线性代数的理解和计算——这也是学习这门美丽学科的两种互补方法我个人认为人们对线性代数知识的需求要比对微积分的需求多得多当然艾萨克·牛顿很可能不会同意这个观点这是因为他不在21世纪教数学也许他不是一位伟大的老师但我们不可质疑他对科学的巨大贡献在牛顿时代物理定律可以用微分方程进行很好的表达所以当时对微积分的需求更明显但在21 世纪科学、工程和管理等学科的发展使得线性代数已经替代微积分占据了数学的中心位置我再多说一点目前许多大学还没有真正认识到线性代数的重要性在处理曲线和曲面问题时总是选择线性化用曲线的切线代替曲线用平面拟合曲面这样问题就变成了线性问题但当变量继续增多有十个变量或者一千个变量而不是两个变量时线性代数的作用就显现出来了你可能会认为我用“美丽”一词来形容一门数学基础课程是夸大其词其实一点也不线性代数配得上这个修饰语本课程从指向不同方向的两个向量v和w开始关键的一步是取它们的线性组合我们利用数乘得到3v和4w然后相加得到特定的线性组合3v4w这个新向量与v和w共面取遍所有可能的线性组合相当于填满了由v和w确定的整个平面如果在平面上画出向量v和w它们的所有可能的线性组合cvdw会填满这一平面但不会跑出这个平面在线性方程的语言中当向量b与v和w共面时我可以精确地求解实数c和d使得cvdwb02矩阵接下来我将把三维向量的线性组合引入线性代数中如果向量为v(1,2,3)和w(1,3,4)则以这两个向量为列构成矩阵这些列向量的线性组合cvdw可以用上述矩阵与向量(c,d)的乘积来表示这些线性组合可以张成一个向量空间我们称之为矩阵的列空间由这两个列向量张成的空间是一个空间平面为了判断向量b(2,5,7)是否在这个平面内我们需要核对三个分量即求解三个方程方程组的求解留给各位读者因为方程组有解所以向量b(2,5,7)确实在由向量v和w确定的平面内如果将向量b的第三个分量7换成其他任何数则对应的方程组无解即向量b不再是向量v和w的线性组合进而可知此时向量b不在由向量v和w确定的平面内本书的前两章是关于线性方程组Axb的讨论其中矩阵A有m行n列线性代数稳步向m维空间中的n个向量推进我们仍然需要在列空间中讨论列向量的线性组合仍需要通过m个方程来求解向量b每行对应一个方程这些方程可能有解也可能没有解但它们总有一个最小二乘解列和行的相互作用是线性代数的核心这并没有想象的那么容易但也不太难以下是其四个核心概念列空间列的所有线性组合行空间行的所有线性组合秩列或行向量组的最大线性无关组中列或行向量的个数消元法求矩阵秩的有效方法我就说到这里你可以开始课程的学习了03课程结构对于方阵A有两个基本问题Axb和Axλx当A的列向量线性无关时第一个问题Axb有解第二个问题Axλx是寻找线性无关的特征向量这门课程的一个重要部分是理解“无关”的含义我相信大多数人是从例子开始学习的你可以看到这是因为该矩阵的第一列加上第二列等于第三列线性代数中的一个美妙定理告诉我们该矩阵的这三行也不是无关的第三行在由第一行和第二行确定的平面内第三行可以表示为第一行和第二行的某种线性组合你可能会很快确定这个线性组合但是我没有最终我不得不使用消元法来发现正确的线性组合是用2倍的第二行减去第一行消元法是通过产生大量零元素来理解矩阵的一种简单自然的方式因此课程从消元法讲起但不要停留太久你必须从行的线性组合来到行的无关性再到“行空间的维数”这是一个关键目标要看到整个向量空间行空间、列空间和零空间进一步的目标是理解矩阵的作用当矩阵A乘以x时会产生新的向量Ax整个向量空间移动了即它被A“变换”了特殊的变换来自特定的矩阵这些矩阵是线性代数的基础对角矩阵、正交矩阵、三角形矩阵、对称矩阵这些矩阵的特征值也很特别我认为2×2矩阵是展示特征值λ所能提供的信息的绝佳示例5.1节和5.2节值得仔细阅读看看Axλx是如何发挥作用的这个小矩阵的例子提供了深刻的见解总的来说线性代数的美妙之处可以从许多不同的角度看到如下所示可视化向量的线性组合向量空间向量的旋转、反射以及投影垂直向量四个基本子空间抽象向量的无关性向量空间的基和维数线性变换奇异值分解和最佳基计算消元法产生零元素格拉姆–施密特方法求解正交向量用特征值求解微分和差分方程应用当Axb包含很多方程时的最小二乘解用差分方程近似微分方程马尔可夫概率矩阵谷歌的基础作为主轴的正交特征向量还有很多……与本书相关的网页可能会对大家的学习有所帮助在这里我们收到了很多带有建议和鼓励的反馈信息我希望你能充分利用这些资源你可以直接访问麻省理工学院线性代数课程18.06的网站该网站会持续更新以适用于每个学期开设的课程线性代数课程也可以在麻省理工学院的开放课程网站上找到其中课程18.06因为包含讲座视频当然你完全可以不看……而变得特别以下是在网页上可获取的部分内容讲座安排、当前的作业和考试及其解答课程目标和概念性问题交互式Java 演示现在包括特征值的音频线性代数教学代码和MATLAB 问题完整课程的视频在真实的教室中授课本书的重点是理解——我试图解释而不是推导这是一本关于真正数学的书而不是无尽的练习04为什么这本书与众不同独特的理念Strang教授反对传统教学“从定义到定理”的僵化模式而是主张“从直观到抽象”的自然过程以具体问题为出发点以自然理解为核心以实际应用为落脚点引导读者“自己发现”数学概念。因此他从不急于抛出抽象定义和推导转而采用一种近乎“讲故事”的形式用口语化的叙事风格、略带风趣的方式解释复杂的数学思想。值得一提的是Strang教授尤其注重几何直觉的培养。他在讲解每个知识点时几乎都会给出几何解释这种“代数与几何密切相关”的理念帮助读者在脑海中构建清晰的空间图像避免沦为“计算机器”。Strang标志性的“四个子空间图”丰富的应用本书具有鲜明的理工科导向从应用数学的角度展现了线性代数的实用价值主要围绕数值计算、最优化和线性规划等专题进行介绍还引入了Strang本人的学术专长“有限元理论”这在同类教科书包括他自己的中是绝无仅有的。此外Strang的涉猎面非常广泛他从国际象棋、扑克游戏、棒球、囚徒困境等生动有趣的示例中敏锐地发现了线性代数的存在。在他的笔下线性代数是亲切的、充满乐趣的数学成为了解读世间万象的语言。人性化的编排为了将行列式对理解线性代数的影响降到最低Strang选择从学生已经非常熟悉的线性方程组切入来介绍矩阵。这种讲法避免了国内教材常常从学生不熟悉的行列式出发的通病让入门变得更简单、更顺畅。此外本书在编排上的另一大特点是提早引入线性变换这一教学难点并不拘一格地将其融入到各个主题中先随着矩阵一起介绍相对容易接受的伸缩、旋转、反射、投影而把更一般的线性变换特别是相似变换放到后面。这符合“从特殊到一般”“从易到难”的原则和认知规律。推荐阅读《斯特朗线性代数》作者[美] 吉尔伯特·斯特朗Gilbert Strang译者陈学勇刘伟安高等数学教育界泰斗 斯特朗曾任麻省理工学院数学系教授影响全球百万学生的线性代数传奇大师本书是麻省理工、哈佛、斯坦福等顶级名校教材教科书中的一股清流流畅的叙事式写作风格直观的自然理解取代晦涩的数学推导避免对定义、定理、证明的枯燥罗列通俗易懂非常适合自学。教学资源完备、丰富。他在麻省理工学院OpenCourseWare网站上开设的线性代数课程已获得上百万次观看被认为是数学教学的典范。几乎所有现代科学都离不开线性代数本书正是为物理学、工程学、经济学等领域的人群而设计从应用数学的角度介绍线性代数在现实问题中的应用。以下为本书目录